Por: Sammy Lucano Polo y David Córdova Rojas, DCR Ingenieros.Presentado en el 8° Simposio Peruano de Geoingeniería.ResumenEsta investigación desarrolla una metodología para el acopio de mediciones de esfuerzos in situ, que luego será usada para estimar una primera aproximación al modelo del campo de esfuerzos in situ para el Perú. Para dicha tarea, se realizó una revisión sistemática de los antecedentes desarrollados en países como Canadá, Australia, Sudáfrica, China, Chile, Alemania, entre otros. Estas investigaciones sirvieron como marco de referencia para la metodología empleada en la generación del modelo del campo de esfuerzos in situ para Perú. Los registros recopilados provienen de informes de medición de esfuerzos in situ ejecutados por empresas especializadas en 14 unidades mineras y también de la información disponible en el proyecto Mapa Mundial de Esfuerzos.IntroducciónEl campo de esfuerzos in situ es una característica intrínseca de los macizos rocosos como resultado de los diferentes procesos geológicos a los que fueron sometidos durante su formación y evolución. Conocer y caracterizar el campo de esfuerzos in situ es un paso indispensable en todos los procesos de diseño de infraestructuras que interactuarán con el macizo rocoso (túneles, tajeos subterráneos, pilares de refuerzos, etc.), permitiendo estimar o predecir la evolución del campo de esfuerzos durante su ejecución y evaluar su factibilidad.La caracterización del campo de esfuerzos in situ se realiza con mediciones que emplean técnicas como el Overcoring, fracturamiento hidráulico, gato plano, emisiones acústicas, entre otras. El acopio de estas mediciones en el tiempo permite la estimación de modelos que ajusten el campo de esfuerzos in situ para un punto específico como puede ser un proyecto de la industria mineral, civil o petrolífera (Azit et al., 2016; B. H. B. Brady, 1976; Cai et al., 2000; Dight & Snyman, 2010) o en grandes extensiones como países.Si bien es correcto afirmar que los análisis de estabilidad de infraestructuras ejecutadas en macizos rocos requieren del conocimiento del campo de es- fuerzos in situ, en la mayoría de los casos no es usual realizar mediciones de este tipo, debido a factores como el tiempo, costos, etapa del proyecto, etc. Para desarrollar la ingeniería en esos casos, internacionalmente existe el interés de acopiar los datos de mediciones de esfuerzos in situ y ajustar modelos que permitan a los ingenieros tener una aproximación con sustento en este campo.Varios países como Canadá (Yong & Maloney, 2015), Alemania (Kruszewski et al., 2022), Francia (Cornet & Burlet, 1992), Japón (Kwong & Wong, 2013), Australia (Rajabi et al., 2017), Chile (Galarce, 2014), entre otros, han realizado investigaciones para modelar el campo de esfuerzos in situ. En estas investigaciones principalmente se reunió datos que provienen de mediciones de esfuerzos y, por tanto, estos registros cuentan con información de la orientación de los esfuerzos principales y también de su magnitud.Hasta la fecha, para el caso de Perú no se cuenta con publicaciones sobre un modelo de esfuerzos in situ generado con mediciones de campo y otros registros del tensor de esfuerzos. La presente investigación propone una primera aproximación al modelo del campo de esfuerzos in situ en el Perú, dicho modelo será una herramienta de estimación para los ingenieros en la tarea de evaluar la estabilidad de infraestructuras mediante análisis empíricos o empleando simulaciones numéricas en circunstancias donde no se cuente con mediciones de esfuerzo in situ.El tensor de esfuerzosEl esfuerzo mecánico se describe matemáticamente como un tensor de segundo orden y físicamente por su tensor de invariantes. El tensor de esfuerzos está determinado por la matriz que define el estado de esfuerzos en cualquier punto arbitrario dentro de un cuerpo deformable (Zang & Stephansson, 2010). Esta matriz se muestra en la Figura 1a en base a un sistema coordenado cualquiera, en tres dimensiones el tensor de esfuerzos posee nueve componentes y, gracias a que la matriz es siempre simétrica, estos componentes se reducen a seis.Otra alternativa para expresar el tensor de esfuerzos es mediante los esfuerzos principales y direcciones principales que se identifican evaluando los planos en los cuales los esfuerzos son enteramente normales, es decir, en los planos donde no existen las componentes cortantes (ver Figura 1b). Para hallar el tensor de esfuerzos principales es necesario calcular los autovalores (magnitud de los esfuerzos principales) y autovectores (direcciones principales) de la matriz de esfuerzos. Los esfuerzos principales pueden ser visualizados en tres dimensiones empleando un cubo rotado, las direcciones principales (x’, y’, z’) están rotadas respecto del sistemas de coordinadas global (x, y, z). Solo tres componentes de esfuerzo (σ1, σ2, σ3) son requeridos en el cubo rotado de esfuerzos principales (ver Figura 1b).También es posible expresar el tensor de esfuerzos mediante un tensor de esfuerzos principales reducido que es una simplificación que se adopta cuando se trabaja con los esfuerzos que existen en la corteza terrestre (ver Figura 1c). Consiste en asumir que el esfuerzo vertical (Sv) es uno de los tres esfuerzos principales y que los esfuerzos principales remanentes son horizontales, uno de los cuales es el esfuerzo horizontal mayor (SHmax) y el otro el esfuerzo horizontal menor (Shmin). Esta simplificación se justifica en razón que la superficie de la tierra está en contacto con un fluido (aire o agua) y por tanto no puede soportar esfuerzos de tracción, es decir, es un plano principal. Por tanto, uno de los esfuerzos principales es por lo general perpendicular a la corteza terrestre y los otros dos actúan en el plano horizontal (M. D. Zoback, 2007). Queda claro que esta condición debería ser válida en la superficie de la tierra, compilaciones de interpretaciones de mecanismo focal y otros indicadores de esfuerzos sugieren que también es generalmente correcto para profundidades no mayores a 15 km o 20 km, en la zona de transición frágil-dúctil (M. D. Zoback, 1989; M. L. Zoback, 1992; M. L. Zoback & Zoback, 1980). En los casos que cumplan las características descritas es posible definir el estado de esfuerzos en profundidad con solo cuatro parámetros: la magnitud de los tres esfuerzos principales (Sv, SHmax, Shmin) y la orientación de esfuerzo horizontal mayor (βSHmax).Esfuerzos en la corteza terrestreNo existe un conjunto de términos aceptados internacionalmente para definir el estado de esfuerzos en un macizo rocoso (Hudson & Cornet, 2003). Sin embargo, Zang & Stephanson, 2010; sugieren un diagrama que se reproduce en la Figura 2.Este diagrama constituye un esquema de términos que fueron adaptados a partir de la clasificación propuesta por Amadei & Stephansson, 1997. Además, el diagrama es una estructura condensada basada en investigaciones como Bielenstein and Barron, 1971; Lindner and Halpern, 1978; Hyett et al., 1986; Cornet, 1993; Harrison and Hudson, 2000.El nivel uno se organiza en cuatro grupos mayores (Figura 2 A-D). En el margen izquierdo tenemos un par de casos que están relacionados con macizos rocosos homogéneos (Figura 2 A-B), el par de casos de la derecha corresponden a lo opuesto a macizos rocosos no homogéneos y anisotrópicos (Figura 2 C-D). El termino esfuerzos in situ, también conocido como virgen, primario, de preminado, natural o esfuerzo primitivo corresponde al campo de esfuerzos que existe en el macizo rocoso previo a cualquier perturbación provocada por el hombre o artificialmente (Figura 2 A). El termino esfuerzo inducido, secundario o esfuerzo de minado es el resultado natural del estado de esfuerzos luego de la ejecución de una infraestructura de ingeniería (túnel subterráneo, detonación de roca, perforación de sondajes o la ejecución de tajeos de explotación). Un ejemplo se muestra en la excavación circular de la Figura 2 B. La orientación de los esfuerzos principales en la vecindad de la excavación se muestra en puntos seleccionados a la izquierda y como trayectorias de esfuerzo a la derecha. En el caso de una maza rocosa anisotrópica o heterogénea, los términos esfuerzo estructural (Figura 2 C) o esfuerzo estructural perturbado (Figura 2 D) deben ser usados.El segundo nivel (que puede ser aplicado a cualquiera de los cuatro grupos del nivel uno) se subdivide en cuatro tipos de esfuerzos generados por diferentes fuerzas (Figura 2 A1-A4). La primera le corresponde al esfuerzo gravitacional terrestre (Figura 2 A1) que puede ser calculado por el peso de la maza rocosa suprayacente. El esfuerzo gravitacional incrementa con la profundidad en la corteza terrestre y también tiene en cuenta la perturbación de la topografía terrestre próxima a superficie. El segundo tipo de esfuerzo se conoce como esfuerzo tectónico (Figura 2 A2), que es originado por las fuerzas involucradas con la actividad tectónica (nuevo tectonismo) o por eventos tectónicos pasados (esfuerzo remanente).El tercer nivel en la Figura 2 genera una subdivisión a los esfuerzos tectónicos activos (nuevo tectonismo Figura 2 A2) considerando a los esfuerzos tectónicos globales originados por el desplazamiento relativo de las placas tectónicas (Figura 2 A2a) y a los esfuerzos tectónicos locales originados por los plegamientos o la isostasia (Figura 2 A2b). Esta subdivisión de los esfuerzos tectónicos fue propuesta por Zoback et al., 1989; cuando analizaba el patrón de esfuerzos en la base a datos del Mapa Mundial de Esfuerzos. Luego de la investigación de Zoback, 1992, los términos esfuerzo tectónico global y local fueron remplazados por esfuerzos de primer orden (escala de placa tectónica) y esfuerzos de segundo orden (escala de montaña). Finalmente, la tercera subdivisión contempla el término esfuerzo a escala de falla (Figura 2 A2c) y está relacionado a un esfuerzo estructural (Figura 2 C).Los esfuerzos tectónicos remanentes originados por eventos paleo-tectónicos están representados en el diagrama por la Figura 6 A3, se considera un tipo de esfuerzo residual a gran escala con un nivel jerárquico más alto en comparación con otros componentes de esfuerzo tectónico. El campo de esfuerzos en la corteza terrestre está conformado principalmente por esfuerzos tectónicos (Figura 2 A2), como la suma de esfuerzos tectónicos de diferente orden (Figura 2 A2a, A2b, A2c), más un posible componente remanente.Los esfuerzos residuales en un macizo rocoso son definidos como un sistema de esfuerzos que existen en condiciones próximas al equilibrio en el interior de la maza rocosa cuando ni esfuerzos normales ni esfuerzos cortantes son transmitidos hacia su superficie (Voight, 1996). También se puede entender a los esfuerzos residuales como esfuerzos que permanecen en un cuerpo incluso luego de que el mecanismo que los originó ha sido removido (Zang & Stephansson, 2010).Los esfuerzos terrestres (Figura 2 A4) consideran las perturbaciones en el campo de esfuerzos originadas por las variaciones de temperatura que ocurren diariamente o estacionalmente, la perturbación gravitacional lunar y el efecto Coriolis. Estos factores tienen una influencia que se manifiesta a poca profundidad de la superficie del planeta (Berest et al., 1992; Scheidegger, 1962; Swolfs & Walsh, 1990).De los cuatro grupos del segundo nivel (Figura 2 A1-A4) solo el componente gravitacional y los esfuerzos tectónicos pueden lograr una manifestación a gran escala, significante regionalmente, en razón que su evolución está relacionada con el origen, movimiento y subducción de las placas tectónicas. Es decir, la determinación del estado de esfuerzos in situ es equivalente a establecer los esfuerzos tectónicos más el aporte del esfuerzo gravitación. Los otros componentes de esfuerzos cumplen un rol marginal además que poseen una desviación estándar grande en orientación y magnitud. Los modelos de esfuerzos en la corteza terrestre están basados en los componentes de esfuerzos gravitacionales y tectónicos (Arjang & Herget, 1997; Reiter et al., 2014; Yong & Maloney, 2015, y Zang & Stephansson, 2010).Esfuerzo gravitacionalEl esfuerzo generado en la masa rocosa por el campo gravitacional terrestre se denomina esfuerzo vertical (Sv) y está generado por la columna de roca desde el punto en análisis hasta superficie. Windsor, 2003, actualizó una recopilación de mediciones del estado de esfuerzos in situ en diversos proyectos de ingeniería minera, civil y petrolera inicialmente elaborada por Brown & Hoek, 1978. Los resultados se presentan para el esfuerzo vertical con alrededor de 900 datos, que se muestran en la Figura 3, se incluyen los resultados hasta profundidades de 3 km, que es el rango de interés en la mayoría de los proyectos mineros (B. H. G. Brady & Brown, 2004).La Figura 3 muestra que en un contexto global se puede considerar una densidad promedio de 2.7 tn/m3 para la masa rocosa, es decir, que a profundidades de 1,000 m el esfuerzo vertical esperado sería de 27 Mpa. Además, se observa que los resultados tienen una dispersión considerable respecto a la línea de regresión. Varias investigaciones han evidenciado valores para el esfuerzo vertical que difieren de esta fórmula y que podrían estar afectados por una topografía irregular, esfuerzos inducidos, procesos geológicos, erosión, etc. (Galarce, 2014).Esfuerzo tectónicoLa tierra no es un cuerpo inerte debido a los movimientos en la corteza que ocurren continuamente durante la acumulación de esfuerzos generada por la tectónica de placas y al movimiento de discontinuidades mayores durante el alivio parcial de los esfuerzos en las rupturas sísmicas. Como se ha comentado existen dominios de esfuerzo a diferentes escalas. Patrones de escala global de los esfuerzos tectónicos como los analizados por Zoback et al., 1989, involucran dos tipos de fuerzas. En primer lugar, a las fuerzas tectónicas de gran escala que actúan en el perímetro de las placas de la litosfera se les conoce como esfuerzos tectónicos de primer orden. Un ejemplo, del campo de esfuerzos entre placas para Sudamérica se muestra en la Figura 4. Las líneas representan la orientación media (azimut) del esfuerzo horizontal máximo y como se observa es constante en la zona oeste de Sudamérica, evidenciando un dominio tectónico de primer orden de gran escala. En segundo lugar, tenemos a los esfuerzos tectónicos de segundo orden que pueden variar drásticamente sobre distancias cortas. Una regla general es considerar que esta distancia es aproximadamente tres veces el diámetro de la heterogeneidad. Por ejemplo, la variación de las trayectorias de esfuerzos en la vecindad de un volcán (Pico español, Colorado) se muestra en la Figura 5 (Zang & Stephansson, 2010). La influencia de un campo de esfuerzos isotrópico y biaxial en el alineamiento de los diques volcánicos se muestra en las Figura 5a y 5b, respectivamente. En el primer caso (esfuerzo isotrópico) se espera un patrón radial en inmediaciones del volcán y, en el segundo caso, se espera que los diques y fisuras tengan una desviación hacia la dirección del esfuerzo horizontal máximo. La Figura 5c muestra el mapeo de los diques en la vecindad del Pico Español, resulta evidente que en el tiempo que los diques se formaron un campo de esfuerzos biaxiales existía en el volcán. Empleando el diámetro del volcán (10 km) como la escala de la heterogeneidad, la perturbación del campo de esfuerzos cubre distancias de hasta 30 km, aproximadamente.Proyecto Mapa Mundial de EsfuerzosEl proyecto Mapa Mundial de Esfuerzos (WSM, por su sigla en inglés) tiene por objetivo compilar datos contemporáneos de los esfuerzos tectónicos en la corteza terrestre. La primera base de datos que se construyó fue consecuencia de un grupo de investigación como parte del Programa Internacional de Litosfera (M. D. Zoback, 1989). Luego, entre los años 1995-2008, el proyecto WSM fue una investigación de la Academia de Ciencias y Humanidades Heilderberg, Alemania (Heidbach et al., 2010). Desde 2009, el lugar oficial del proyecto WSM es el Centro de Investigación Alemán de Geociencias (GFZ) en Potsdam (Heidbach et al., 2010).La primera versión de la base de datos contenía 3,574 valores (M. L. Zoback, 1992). En esta primera fase los esfuerzos estuvieron orientados en hipótesis para investigar las fuerzas de borde de las placas tectónicas (incluido el arrastre de manto) y para intentar explicar hasta qué punto estas fuerzas causan los patrones de esfuerzo de gran escala. También, hallaron que la orientación del SHmax en algunas placas tectónicas era aproximadamente paralela con la dirección absoluta del movimiento de las placas tectónicas (Richardson, 1992; Richardson et al., 1979; M. L. Zoback, 1992).Luego entre los años 1995 a 2008 la base de datos del WSM contenía 21,750 registros. En esta etapa las principales conclusiones fueron: (a) grandes regiones en el interior de muchas placas tectónicas se caracterizan por un SHmax con una orientación uniforme y consistente como se observa en el este de Norte América, oeste de Europa, los Andes, etc.; (b) en la mayoría de las regiones continentales en medio de las placas tectónicas existe un dominio de régimen de esfuerzos compresivo en los cuales uno o dos esfuerzos horizontales son mayores que el esfuerzo vertical, y (c) en los regímenes de esfuerzo extensionales continentales donde existe un campo de esfuerzos normales y de cizalla, el esfuerzo principal mayor es vertical, esto típicamente ocurre en áreas cuya topografía es empinada.La tercera fase del proyecto WSM inició en 2009 con el incremento de la base de datos gracias a una inmensa colaboración internacional de países como Australia, Canadá, China, Alemania, Islandia, Italia, Nueva Zelanda y Suiza. El resultado fue la actual base de datos con 42,870 registros que se muestra en la Figura 6.La fase en curso (cuarta fase) del proyecto WSM tuvo su punto de partida en 2017 y tiene como objetivo incrementar la base de datos de orientación del SHmax y el régimen tectónico. También, un nuevo objetivo se centra en recopilar registros de campo de esfuerzos con la magnitud de los esfuerzos principales, dado que se ha comprendido bien que esta información es fundamental para la calibración de un modelo numérico geomecánico. Por otro lado, está informa ción también permitirá proponer modelos continuos en tres dimensiones del tensor de esfuerzos a partir de información puntual e incompleta del tensor de esfuerzos proporcionada por la base de datos actual del WSM.Esquema de valoración de la calidad WSMEl éxito de la base de datos del WSM consiste en proporcionar un sistema de valoración de la calidad estandarizado, lo que permite que indicadores de esfuerzos individuales puedan ser comparables a escala global. El esquema de calidad está basado principalmente en el número, la exactitud y la profundidad de las mediciones. El esquema de valoración de calidad fue introducido por Zoback & Zoback en 1989-1991 y refinado por trabajos subsecuentes como el de Sperner et al., 2003 y Heidback et al., 2010. Es importante destacar que el esquema de valoración de calidad está pensado para combinar data de esfuerzos que provienen de diferentes indicadores de esfuerzo, representando diferentes volúmenes de roca. De manera resumida el esquema de valoración de calidad del WSM consta en lo siguiente:ν A cada registro de esfuerzos se le asigna una calidad entre A y E. Siendo el valor de A la calidad más alta posible y el valor de E la calidad más baja posible.ν La calidad A significa que la orientación del esfuerzo horizontal máximo es preciso dentro de ± 15°, la calidad B dentro de ± 20°, la calidad C dentro de ± 25° y la calidad D dentro de ± 40°.ν Para la mayoría de los diversos tipos de indicadores de esfuerzo estas clases de calidad están definidas por la desviación estándar de la orientación del esfuerzo horizontal máximo.ν La calidad de dato tipo E corresponde a los indicadores de esfuerzo que no proporcionan suficiente información o que poseen una desviación estándar mayor a 40°. Este tipo de registros proviene principalmente de perforaciones, no contienen información sobre esfuerzos, sino que se conservan únicamente con fines contables de que estos datos han sido procesados.ν En general, el WSM recomienda usar indicadores de esfuerzo con calidad A, B y C, ya que se consideran fiables para su uso en el análisis de patrones de esfuerzos y la interpretación de procesos geodinámicos.Posible evento de límite de placa PBELos extremos de las placas tectónicas se caracterizan por presentar fallas con orientaciones definidas y que probablemente posean un bajo coeficiente de fricción de tal forma que se puedan reactivar fácilmente. Por otro lado, la estimación de la orientación del tensor de esfuerzos a partir de un único mecanismo focal no siempre genera un resultado de baja incertidumbre, principalmente a su dependencia con el comportamiento mecánico de la zona de falla involucrada. En el caso de fallas con bajo coeficiente de fricción, el ángulo entre los ejes de esfuerzos principales (σ1, σ2, σ3) y los ejes de deformación principal (P, B, T) puede ser suficientemente grande como 90°. El debate científico sobre la resistencia de las fallas de los bordes de las placas tectónicas aún continúa. Se debe tener presente que las orientaciones del tensor de esfuerzos derivadas de soluciones de mecanismo focal único (FMS) a lo largo de los límites de placas débiles puede tener un mayor grado de incertidumbre.No formar parte de los objetivos del proyecto WSM profundizar sobre este debate, pero, si es interés del WSM proporcionar registros cuya calidad haya sido controlada de forma confiable. Con este fin, los registros de datos FMS ubicados cerca de los límites de las placas se han marcado como posibles eventos de límite de placa (PBE, por su sigla en inglés) si cumple los siguientes criterios:ν El evento se encuentra dentro de una distancia horizontal crítica relativa al segmento de límite de placa más cercano. Las distancias críticas dependen de los tipos de límites de placa. Las distancias fueron estimadas mediante análisis estadístico como 45 km para límites de placa transformantes continentales, 80 km para límites de placa transformantes oceánicas, 70 km para dorsales oceánicas y 200 Km para zonas de subducción.ν El ángulo entre el rumbo del plano nodal y el rumbo del límite de la placa es menor a 30°.ν El régimen tectónico del FMS refleja la cinemática del límite de placa, es decir, fallas inversas (TF, TS) cerca de zonas de subducción, fallas de cizallamiento (SS, NS, TS) cerca de dorsales oceánicas y continentales y fallas normales (NF, NS) cerca de dorsales oceánicas.Stress2grid del proyecto WSMPara analizar la longitud de onda del patrón de esfuerzos de la corteza terrestre, utilizamos los mapas de esfuerzo suavizados, que muestran la orientación media del SHmax en cuadrículas regulares. El WSM basado en el trabajo de Coblentz & Richardson, 1995; Müller et al., 2003 y Heidbach et al., 2010; automatizaron un código de cálculo desarrollado en el lenguaje de programación Matlab denominado Stress2grid (Ziegler, 2019), que amplía y acelera las posibilidades de análisis. Además, el código puede calcular el movimiento de las placas a partir de los vectores de Euler y estima la desviación de la orientación del esfuerzo horizontal máximo respecto de la dirección del movimiento de las placas.El código Stress2grid proporciona dos enfoques diferentes para calcular la orientación media del esfuerzo horizontal máximo en cuadrículas regulares, ambos basados en las estadísticas direccionales de datos circulares y axiales (Mardia, 1972; Pewsey et al., 2013) según se observa en la Figura 7.El primero utiliza un radio de búsqueda constante alrededor del punto de la cuadrícula y calcula la orientación media del esfuerzo horizontal máximo, en caso exista suficientes registros de datos dentro del radio de búsqueda fijo definido por el usuario. Esto puede entregar como resultado orientaciones medias del esfuerzo horizontal máximo con una desviación estándar alta respecto de la orientación media individual del esfuerzo horizontal máximo y, por ende, puede ocultar perturbaciones locales. En estos casos, la orientación media del esfuerzo horizontal máximo no es necesariamente confiable para un análisis de campo de esfuerzo local.El segundo enfoque utiliza radios de búsqueda variables y determina el radio de búsqueda para el cual la desviación estándar de la orientación media del esfuerzo horizontal máximo está por debajo de un umbral definido por el usuario. Este enfoque proporciona las orientaciones medias del esfuerzo horizontal máximo con un grado de confiabilidad definido por el analista. Resuelve perturbaciones de esfuerzo local y no se ejecuta en áreas sin registros de tensores de esfuerzo o información conflictiva que resulten en grandes desviaciones estándar de la orientación del esfuerzo horizontal máximo.Estimación de la dirección del movimiento de las placas tectónicasEl código Stress2grid calcula el movimiento de las placas tectónicas empleando los vectores de Euler en la grilla definida. Esto permite la comparación entre la orientación media del SHmax y la dirección del movimiento de placas tectónicas, esta comparación se puede realizar por medio de un gráfico de ambas variables o como el valor de la diferencia entre ambos valores angulares.La dirección y velocidad del movimiento en ubicaciones individuales se puede estimar a partir de los vectores Euler de rotación de placas. Este vector puede presentar un movimiento absoluto de placa (Gripp & Gordon, 2002) o un movimiento relativo a una placa fija, por ejemplo, el Sistema de referencia de placa fija del Pacífico, como se indica en Bird, 2003. La dirección del movimiento de placa en una ubicación geográfica dada se estima a partir del vector de Euler de rotación de placa y las coordenadas geográficas de la ubicación en análisis (Kearey et al., 2009)AntecedentesAustraliaHillis, Enevers y Reynolds – 1999Realizaron una compilación de datos de mediciones de esfuerzos in situ proveniente de mediciones empleando las técnicas de fracturamiento hidráulico y Overcoring con un total de 110 registros de esfuerzo ubicados en las cuencas de Bowen y Sídney. Se identificó que, en el caso de la primera, la orientación del esfuerzo horizontal máximo es consistente en la dirección norte-noreste por extensiones alrededor de 500 km. En el caso de la cuenca de Sídney, la orientación de esfuerzo horizontal máximo posee mayor variabilidad. Finalmente, se identificó que en ambas el esfuerzo vertical constituye el esfuerzo principal menor.Hillis, Enevers y Reynolds – 2000Incrementaron la base de datos de 1999 hasta obtener 319 registros con calidad A-C y 536 con calidad A-E, principalmente, gracias al análisis de la técnica Borehole Breakout en perforaciones petrolíferas. Se observó que existe una gran variación de la orientación del esfuerzo horizontal y que en general no existe un paralelismo con la orientación del movimiento de la placa Indo-australiana. Se incorporó al mapa de esfuerzo australiano las trayectorias de esfuerzo como se muestra en la Figura 9.Rajabi, Tingay, Heidback, Hillis – 2017Se logró incrementar la base de datos hasta 1,147 registros de calidad A-C y 2,150 registros con calidad A-E. El estudio definió 14 diferentes dominios de esfuerzo (zonas donde la orientación del esfuerzo horizontal máximo es aproximadamente constante) en el continente australiano que de manera resumida poseen cuatro principales alineaciones para el esfuerzo horizontal máximo.ν NNE-SSW en el norte, noreste y noroeste de Australia.ν E-W en la mayor parte del oeste de Australia, así como al sur de Australia.ν ENE-WSW en la mayoría de las cuencas sedimentarias de Australia al este.ν NW-SE en el sureste de Australia.Se comprobó la tendencia de estudios anteriores que existe una baja correlación entre la orientación del esfuerzo horizontal máximo y la orientación del movimiento de la placa Indo-australiana. Se calculó el mapa de esfuerzos suavizado para Australia que se muestra en la Figura 10, siguiendo la metodología de Hansen & Mount (1990) y Müller et al., (2003). Mediante este cálculo se obtiene una proyección sobre toda la superficie de Australia de la orientación de esfuerzo horizontal máximo.CanadáHerget – 1987Se realizó una de las primeras compilaciones de datos de medición de esfuerzos in situ para Canadá, incluyendo varias mediciones en minas empleando el Overcoring y se constató que los resultados no estén perturbados por la influencia de excavaciones. La base de datos contaba con 54 valores aproximadamente. En general la orientación de los tensores de esfuerzo posee ángulos paralelos y perpendiculares respecto a la superficie terrestre, por tanto, los es fuerzos principales son un esfuerzo vertical y dos horizontales. A profundidades menores, el esfuerzo principal menor es el esfuerzo vertical y el esfuerzo principal mayor e intermedio son horizontales. Se realizó una regresión para el esfuerzo vertical y para el Kmax (esfuerzo horizontal máximo/esfuerzo vertical) y Kmin (esfuerzo horizontal mínimo/esfuerzo vertical). Estos resultados se muestran en la Figura 11.Reiter, Heidbach, Schmith, Haug – 2014La base de datos generada contó con 981 registros con calidad A-C y 1,667 con calidad A-E muchos de estos valores corresponden a indicadores de tensores de esfuerzo obtenidos con la técnica Borehole Breakout. La Figura 12 muestra la ubicación de la base de datos. Con esa información se calculó un mapa de esfuerzos suavizado para la orientación del esfuerzo horizontal máximo y también se analizó la longitud de onda correspondiente como se observa en la Figura 13.A partir de los resultados se determinó que existen grandes zonas en el mapa de esfuerzos suavizado de Canadá con una longitud de onda de alrededor de 1,000 Km, lo que es un indicador que las zonas están gobernadas por fuerzas tectónicas de primer orden. Además, se fue comprobando que existe una buena correlación entre la orientación del esfuerzo horizontal máximo y la dirección de movimiento de las placas tectónicas. En general la orientación del esfuerzo horizontal máximo es SW a NE sobre grandes zonas de Norte América.Yong, Maloney – 2015La investigación fue conducida por el centro de investigación geomecánico de Canadá Mirarco. La base de datos contó con 304 mediciones de esfuerzo in situ y está distribuida entre 12 m a 2,552 m de profundidad. La base de datos fue sometida a un proceso de evaluación de calidad, el cual condujo a la eliminación de 77 datos. Es decir, la base que se empleó para proponer los modelos estadísticos contaba con 199 registros de esfuerzos in situ.Se evaluó la orientación de los esfuerzos principales mediante análisis estereográficos. Además, se realizaron regresiones para la relación de los esfuerzos principales, esfuerzo vertical, esfuerzo horizontal máximo, esfuerzo horizontal mínimo, relación de esfuerzos vs la profundidad. En algunas regresiones del modelo de esfuerzos propuesto se realizó análisis por dominios. Las Figuras 14 y 15 muestran alguno de los resultados obtenidos.ChileGalarce – 2014Se compiló una base de datos de 343 registros de tensores de esfuerzo provenientes de 12 minas. Luego se filtró la base de datos para retirar los datos aberrantes (tensores dónde no se cumple que σ 1 > σ 2 > σ 3) y los datos anómalos que se identifican mediante el uso de filtros propuestos por el autor. Luego de los filtros la base de datos con la que se generaron las regresiones para el modelo de esfuerzos contiene 96 registros de tensores de esfuerzo aproximadamente, que están distribuidos en un rango de profundidad de 52 m a 945 m.El autor sugirió que: “La mayoría de los modelos propuestos utilizan a los esfuerzos principales para establecer las regresiones. Esto es un error conceptual, ya que en realidad los esfuerzos principales cambian de dirección a lo largo de la profundidad, por lo que al comparar estos no se puede obtener la visión completa del tensor. Es por eso que es mejor comparar los esfuerzos normales en una dirección particular, ya que así se puede establecer de mejor manera el comportamiento del tensor en toda la profundidad”, (Galarce, 2014).En vista de ello, el modelo de esfuerzo propuesto para las regresiones corresponde a un tensor de esfuerzos cuyos ejes coordinados corresponden a las direcciones EW y NS. Dado que estos ejes coordenados no corresponden a los autovectores poseen componentes de esfuerzo cortante. También se analizó la orientación de los esfuerzos principales en estereogramas. Se observó que el esfuerzo principal mayor tiene una orientación EW con componente NW-SE y el esfuerzo principal medio muestra una orientación NS con componente EW e inclinaciones horizontales. En el caso del esfuerzo principal menor es aproximadamente vertical.ChinaLi, Cai – 2018Propusieron un modelo de esfuerzos para la península de Jiaodong en China. Adoptaron un proceso de validación de calidad de sus datos en tres etapas: las dos primeras que están orientadas a identificar inconvenientes durante el proceso de medición y, la tercera, que descartó las mediciones que tengan un encampane menor a 100 m, en razón que está documentado que a bajas profundidades existe una perturbación generada por el terreno (M. D. Zoback, 2007).La base de datos final contó con 51 mediciones empleando la técnica del Overcoring y 35 con fracturamiento hidráulico, es decir, 86 registros del tensor de esfuerzo en total y está distribuida en un rango de profundidad de 109 m a 970 m. Se han generado análisis de regresión para las magnitudes del tensor de esfuerzos y análisis estereográficos de roseta para identificar la orientación del esfuerzo horizontal mayor. Las Figuras 16 y 17 muestran algunos de los resultados obtenidos.Liu, Liu, Peng, Wang, Fan, Jiang, Yin – 2022Propusieron un modelo de esfuerzos también para la península de Jiaodong en China. Su base de datos cuenta con 164 indicadores de tensor de esfuerzos con un encampane mínimo de 450 m. Se realizaron regresiones lineales para caracterizar la magnitud de los esfuerzos principales en función de la profundidad y, de manera análoga, para la relación de esfuerzos. Se confirmó que la orientación del esfuerzo horizontal mayor es EW. Las Figuras 18 y 19 muestran alguno de los resultados obtenidos.AlemaniaKruszewski, Klee, Niederhuber, Heidbach – 2022La base de dato compilada contó con 429 mediciones de esfuerzo in situ empleando la técnica de hidrofracturamiento, que fueron ejecutadas en seis minas en galerías alejadas de la perturbación de la explotación. Estos registros de tensores de esfuerzos estuvieron distribuidos en un rango de profundidad de 600 m a 1,950 m. El modelo propuesto es válido para la región de Ruhr.Se realizaron regresiones para caracterizar el cambio de los esfuerzos principales y la relación de esfuerzos con la profundidad. Además, se generó un mapa con la orientación del esfuerzo horizontal mayor con las seis minas en estudio. Ver Figuras 20 y 21.OtrosAdicional a las investigaciones resumidas en los párrafos anteriores para la elaboración de la presente investigación se han revisado los trabajos de Stacey & Wesseloo, 1989; Bell, 1979; Chai et al., 2021; Hamid, 2008; Hillis & Reynolds, 2000; Lambeck, 1984; Lu et al., 2006; McKinnon & Garrido De La Barra, 2003; Müller et al., 1992; Rebaï et al., 1992; Stephansson et al., 1991; Stephansson & Myrvang, 1986. Se recomienda al lector la revisión de los textos referenciados con el objetivo de lograr un entendimiento profundo de la lógica de los cálculos y los diversos resultados obtenidos.Construcción de la base de datos para el PerúEn este apartado se detalla el proceso de acopio de las mediciones de esfuerzos in situ y la construcción de la base de datos correspondiente, así como su optimización, que tuvo el objetivo de depurar los valores anómalos y la obtención de una base de datos validada, que sirvió como insumo para los procesos de estimación de la orientación del esfuerzo horizontal máximo y las regresiones para la estimación las magnitudes del tensor de esfuerzos.Base de datos de orientación y magnitudEn el presente texto se denomina base de datos de orientación y magnitud al acopio de registros de medición de esfuerzos in situ que cuenten con información completa de la orientación de los esfuerzos principales y la magnitud de los mismos.Acopio de las mediciones de esfuerzos in situEn el Perú se han realizado mediciones de esfuerzos in situ en la industria minera y civil. Para la elaboración de la presente tesis se han acopiado los informes de medición emitidos por las empresas especialistas encargadas de ejecutar estas mediciones. Producto de esa información se ha conformado una base de datos que contiene un total de 73 tensores de esfuerzos que provienen de 14 unidades minera diferentes, el registro más antiguo corresponde al 2006 y el registro más actual al 2021. Además, estas mediciones de esfuerzos in situ se han realizado en su mayoría mediante la técnica del Overcoring (61 registros) y en algunos casos empleando la técnica de emisiones acústicas (12 registros). Estas se encuentran distribuidas en un rango de profundidad de 112 m a 1800 m. La Tabla 1 contiene un resumen del contenido de la base de datos.La base de datos de manera detallada cuenta con los siguientes campos de información:ν X, Y, Z: coordenadas x, y, z en proyección UTM.ν zo_mun, zo_let: número y letra de la zona de proyección UTM.ν LON, LAT: coordenadas geográficas longitud y latitud.ν Tipo_m: técnica de medición de esfuerzos in situ.ν Encampane: profundidad con respecto a la superficie.ν Mina: unidad minera en la que se realizó la medición.ν Tipo de roca: tipo de roca en la que se realizó la medición.ν E, v: módulos elásticos (Young, Poisson) de la roca.νσ1, σ2, σ3: magnitud de los esfuerzos principales (MPa).νσ1_t, σ2_t, σ3_t: trend de la orientación de los esfuerzos principales.νσ1_p, σ2_p, σ3_p: plunge de la orientación de los esfuerzos principales.En los informes de medición en algunos casos puntuales los resultados de la medición de esfuerzos in situ no se reportan como magnitud de esfuerzos principales y sus correspondientes orientaciones principales, en dichos casos, se ejecutaron operaciones matriciales para disponer de los resultados de esfuerzo in situ como un tensor de esfuerzos principales. Ha sido frecuente identificar en los informes de medición que se usan sistemas de referencia coordenados diferentes o distintas alternativas para reportar los cosenos directores de las orientaciones principales del tensor de esfuerzos, ante dicha situación, uno de los primeros pasos fue estandarizar el marco de referencia y la definición de los cosenos directores empleando el trend y plunge (Lisle & Leyshon, 2004).Optimización de la base de datosComo se ha comentado, varios autores han propuesto procedimientos para identificar datos anómalos que no deberían ser incorporados en los cálculos subsecuentes (Galarce, 2014; Li & Cai, 2018; Yong & Maloney, 2015). Para esta investigación y en base a las sugerencias de los autores referenciados se propone un proceso de optimización de datos considerando seis pasos:ν Condición 1, se descartaron las mediciones de esfuerzos in situ que posean un encampane menor a 100 m, con el objetivo de eliminar los valores con posibles perturbaciones por proximidad a superficie.ν Condición 2, se descartaron las mediciones que no cuenten con los datos necesarios para describir completamente el tensor de esfuerzos, es decir, las magnitudes de los esfuerzos principales y cosenos directores o los seis componentes del tensor de esfuerzos en un sistema coordenado.ν Condición 3, se revisaron los informes de medición con el objetivo de identificar los valores que tuvieron problemas en el proceso de medición (roca muy fracturada, perturbaciones con temperatura, perturbaciones por proximidad a excavaciones, etc.) y se descartaron dichos valores de la base de datos.ν Condición 4, se ha verificado que los cosenos directores del tensor de esfuerzos principal sean mutuamente ortogonales (± 0.1). Los valores que no cumplieron con esa condición fueron desestimados.ν Condición 5, en caso exista una discrepancia mayor a 15% entre el esfuerzo vertical reportado vs el esfuerzo vertical calculado (transformación de tensores) no se tomó el dato.ν Condición 6, se ha verificado que la relación de esfuerzos (Kmax, Kmin, sHmax/shmin) no exceda dos desviaciones estándar de la tendencia media. En caso contrario dichos valores fueron retirados de la base de datos.Para la ejecución de estos cálculos que son necesarios en cada una de las condiciones, sobre todo, los cálculos vectoriales o matriciales, se ha construido un código de fuente abierta en el lenguaje de programación Python 3.7.0, lo que permitirá en el futuro con el acopio de más mediciones de esfuerzos in situ realizar este procedimiento en un corto tiempo. La Tabla 2 muestra los valores que fueron eliminados, considerando las seis condiciones descritas.Al final de este proceso, la base de datos quedó conformada por 39 registros de tensor de esfuerzos in situ. Como máximo se cuenta con siete datos para la Mina 10 y las Minas 3 y 9, ya no se consideraron en el análisis ya que sus valores iniciales fueron retirados de la base de datos. La Figura 22 muestra la ubicación de los datos procesaros en el mapa del Perú.Estos tensores de esfuerzos fueron transformados a la modalidad de tensor de esfuerzo reducido con el objetivo de disponer de los valores de magnitud para el esfuerzo vertical, horizontal máximo y horizontal mínimo. Además, de la orientación de esfuerzo horizontal máximo. De esta manera, quedó constituida la base de datos que sirvió como fuente de información principalmente para las regresiones que están relacionadas con las magnitudes del tensor de esfuerzos.Cálculo de campos para formato de datos WSMCon las ubicaciones remanentes (12 minas) se procedió a calcular los campos requeridos para completar los valores mínimos necesarios y construir una base de datos que sea compatible con la base del proyecto WSM. Para ello, fue necesario calcular los siguientes campos:ν LON, LAT: coordenadas geográficas longitud y latitud.νβSHmax: Orientación del esfuerzo horizontal.ν Tipo: tipo de indicador de tensor de esfuerzo.ν Encampane: profundidad en respecto a superficie.ν Calidad: calidad de dato en base al WSM.ν Placa: código de la placa tectónica.ν PBE: posible efecto de borde.De la información listada para determinar la orientación del esfuerzo horizontal máximo (βSHmax) en cada una de las minas en análisis fue necesario realizar un cálculo de estadística circular para determinar la media (Mardia, 1972; Pewsey et al., 2013) de βSHmax. De forma similar para la ejecución de este cálculo y la obtención de las salidas gráficas se programó un código en Python. La Figura 23 muestra los resultados obtenidos.En relación a la valoración de calidad, a todas las mediciones se les asignó la calidad D en razón de su dispersión (± 40°) (ver Figura 23). En el caso del campo de la placa tectónica todas las mediciones de esfuerzos in situ están ubicadas en la placa sudamericana. Finalmente, respecto al posible evento de límite de placa (PBE) a todos los registros de esfuerzos in situ le asignaron la condición de NO en vista que las mediciones son producto de las técnicas de Overcoring o emisiones acústicas y no como solución de un FMS.Base de datos de orientaciónEn el presente texto se denomina base de datos de orientación al acopio de registros que solo contaron con la orientación de los esfuerzos principales del tensor de esfuerzos in situ. Este es el caso de la base de datos del proyecto WSM en la que usualmente se expresa las direcciones principales con la orientación del esfuerzo horizontal máximo.Datos extraídos del WSMLa base de datos del proyecto WSM (Heidbach et al., 2016) aporta con registros de orientación del esfuerzo horizontal máximo. Para ello, se realizó un filtro espacial para incluir todos los datos que se encuentren en el rango de longitud de -84 grados a -66 grados y en el rango de latitud de -20 grados a 2 grados. En dicha área se ubican 526 registros de βSHmax con los campos descritos en el apartado anterior. La Figura 24 muestra la ubicación de los datos en el Perú y la Tabla 3 presenta un resumen de los datos, teniendo en cuenta el tipo de indicador de esfuerzo y la valoración de calidad correspondiente. Finalmente, la Figura 25 muestra los datos disponibles por tipo de indicador de esfuerzo y la profundidad.En función de los resultados mostrados, en la Figura 24 se observa que la distribución de los datos tiene mayor densidad hacia la zona de la costa con registros que corresponden en su mayoría a la calidad C. En la zona de la cordillera de los Andes existe menor densidad de datos, pero hay registros de calidad A y C. En similar cantidad y registros de calidad B en zonas puntuales. La zona de la Amazonia posee una baja cantidad de datos en su mayoría próximos al extremo oeste.En la Tabla 3 se observa que los registros con calidad C son los más abundantes con 429 datos y de este grupo los que corresponden a soluciones de mecanismo focal singulares (FMS) son los más importantes con 417 datos. Existen 58 registros con calidad A de los cuales 53 son indicadores de tipo GFS. Respecto a la Figura 25, se observa que en los cuatro primeros kilómetros los indicadores de esfuerzos provienen de interpretaciones geológicas y Borehole Breakout. A mayor profundidad que cuatro kilómetros dominan los registros producto de soluciones de mecanismo focal singulares (FMS).Integración de bases de datos de orientaciónA los 526 registros extraídos de la base de datos del WSM, para caracterizar la orientación del esfuerzo horizontal máximo, se le adicionaron los 12 registros de βSHmax producto del acopio de información de las mediciones de esfuerzos in situ (ver Figura 23). Es decir, la base de datos final cuenta con 538 registros, la Tabla 4 contiene el resumen de los datos que conforman la base de datos final para βSHmax.Modelo del campo de esfuerzos in situ para el PerúComo se ha expuesto, el tensor de esfuerzos mediante una simplificación se puede representar empleando el tensor de esfuerzos reducido (ver Figura 1). Para definir el tensor de esfuerzos reducido necesitamos conocer la orientación de los esfuerzos principales, representada en un tensor de esfuerzos reducido por la orientación del esfuerzo horizontal máximo, y también, necesitamos conocer la magnitud de los esfuerzos horizontal mayor, menor y vertical (esfuerzos principales).Es decir, que un primer grupo de resultados tuvo como objetivo caracterizar y modelar la orientación del esfuerzo horizontal máximo en el territorio peruano, para ello se utilizó la base de datos de orientación construida. Es importante comentar que en vista que el territorio peruano es extenso, un compósito de la orientación del esfuerzo horizontal máximo en un estereograma no es del todo descriptivo por lo que se decidió realizar el mapa de esfuerzos suavizado para Perú (Rajabi et al., 2017; Reiter et al., 2014). Un segundo grupo de resultados tuvo como objetivo caracterizar y modelar la magnitud de los esfuerzos principales y su comportamiento con la variación de la profundidad, para ello se empleó la base de datos de magnitud y orientación construida en un acápite anterior. Satisfechos ambos grupos de resultados se obtuvo una estimación del modelo de esfuerzos in situ para Perú.Modelo de orientación del esfuerzo horizontal máximoLa Figura 24 muestra la ubicación y la calidad de los registros disponibles de orientación del esfuerzo horizontal para el Perú considerando la base de datos de magnitud y orientación, es decir, los 538 registros resumidos en la Tabla 4. Además, la Figura 26 muestra un resultado similar, pero identificando los registros que fueron marcados como posible elemento de límite de placa (PBE).La Figura 26 muestra que existe una cantidad importante de registros con PBE, en base a lo expuesto, la orientación del esfuerzo horizontal máximo no sería confiable del todo para esta condición, por ello, no se tuvieron en cuenta estos valores para el cálculo del mapa de esfuerzos suavizado. Además, se estableció un radio de búsqueda variable con un límite de desviación estándar de 25°. El número mínimo de valores requerido para el cálculo fue de tres registros y la resolución de la grilla sobre la que se ejecutaron los cálculos es de 0.5° en longitud y 0.5° en latitud. La Figura 27 muestra el resultado obtenido para el mapa de esfuerzos suavizado empleando el Stress2grid. De manera complementaria el Stress2grid también permite el cálculo de la longitud de onda, la estimación de la dirección de movimiento de las placas tectónicas (APM) y la diferencia angular entre βSHmax y APM. Ver Figuras 28 a 30.La Figura 27 muestra que la orientación más frecuente para el esfuerzo horizontal máximo es de EW y NEE- SWW en el territorio peruano, sin embargo, existen tres zonas en las que se observa un alineamiento diferente: (a) al norte próximo a la costa de Piura se observa un alineamiento del SHmax de NNW-SSE; (b) próximo a la costa de Moquegua se evidencia un alineamiento del esfuerzo horizontal máximo de NW-SE, y (c) en la zona selva en Madre de Dios y Loreto se evidencia un alineamiento del esfuerzo horizontal máximo de NE-SW y NNE- SSW.En la Figura 28 se aprecia la longitud de onda del cálculo del mapa de esfuerzos suavizado que es el radio de búsqueda máximo y que es un indicador de zonas con similar orientación del esfuerzo horizontal máximo para longitudes de onda grandes. En base a los resultados mostrados existen grandes zonas en el Perú con longitudes de onda superior a los 500 Km, que son evidencia de zonas sometidas a esfuerzos tectónicos de primer orden. Sin embargo, también se aprecia zonas con longitudes de onda menores a 300 km que son evidencia de áreas donde los esfuerzos tectónicos que dominan son los de segundo y tercer orden, en general existen varias zonas de este tipo sobre la cordillera de los Andes.En la Figura 29 se observa que la dirección de movimiento de las placas tectónicas de Nasca y Sudamericana tiene una orientación predominante EW y NEE-SWW. Hacia la zona sur no se dispone de datos calculados, ya que dicha área corresponde a las zonas de excepción orógenas del modelo de Bird (2003). Se aprecia que en su mayoría existe un aproximado paralelismo entre la orientación del esfuerzo horizontal máximo y la dirección de movimiento de las placas tectónicas como se ha reportado en otras investigaciones (Heidbach et al., 2010, 2018; Reiter et al., 2014). Para reformar a esta idea, la Figura 30 muestra que la diferencia angular en varias zonas del territorio peruano está en el rango de ± 20°.Modelo para las magnitudes del tensor de esfuerzos in situPara las regresiones que involucran las magnitudes del tensor de esfuerzos se dispone de la base de datos de orientación y magnitud resumida en la Tabla 3. El objetivo de este apartado fue proponer modelos de regresión, considerando su variación con la profundidad o encampane, para los siguientes campos:ν Esfuerzos principal mayor, intermedio y menor (σ1, σ2, σ3).ν Relación de esfuerzos principal mayor sobre principal intermedio (K12), relación de esfuerzos principal intermedio sobre principal menor (K23) y relación de esfuerzos principal mayor sobre principal menor (K13).ν Esfuerzo vertical (Sv), horizontal máximo (SHmax) y horizontal mínimo (Shmin).ν Relación de esfuerzos horizontal máximo sobre vertical (Kmax), horizontal menor sobre vertical (Kmin) y horizontal máximo sobre horizontal mínimo (KHh).Las Figuras 31 y 32 muestran los resultados obtenidos para las regresiones de los esfuerzos principales vs la profundidad y las regresiones de las relaciones de esfuerzo vs la profundidad, respetivamente.En cada imagen se muestra la ecuación de la regresión lineal (línea negra) y las líneas verdes indican el límite de dos veces la desviación estándar de la regresión. También en cada imagen se presenta el valor de R2, que es un indicador del grado de ajuste de la regresión lineal con los datos de entrada. La Figura 31 muestra que las regresiones de los esfuerzos principales vs la profundidad tienen valores de R2 de 0.5 a 0.6 (regular a buena). En el caso de la Figura 32, si bien es posible realizar la regresión lineal sus valores de R2 son bajos de 0.02 a 0.1.La Figura 33 presenta los resultados obtenidos para las regresiones del esfuerzo vertical, esfuerzo horizontal máximo y esfuerzo horizontal mínimo vs la profundidad, y la Figura 34 muestra los resultados obtenidos para las regresiones de la relación de esfuerzos Kmax, Kmin, KHh vs la profundidad. En base a los resultados de la Figura 33, las regresiones lineales poseen valores de R2 de 0.5 a 0.8 (regular a buena) y, en el caso de la Figura 34, las regresiones lineales poseen valores de R2 de 0.03 a 0.1 (bajos).Como se observa, las regresiones que están relacionadas con las magnitudes de esfuerzos tienen una mejor correlación lineal respecto a las regresiones lineales de las relaciones de esfuerzo. Es importante resaltar que esta tendencia también se observó en otras investigaciones (Galarce, 2014; Yong & Maloney, 2015). La Tabla 5 muestra un resumen de todas las regresiones lineales ejecutadas y los resultados obtenidos.De esta manera se ha conformado el modelo de esfuerzos in situ para el Perú. A partir de los resultados obtenidos en la Figura 27 (mapa de esfuerzos suavizado) se puede tener una estimación de la orientación de esfuerzo horizontal máximo, luego determinando la profundidad a la que se desee realizar el análisis y con la ayuda de las ecuaciones de regresión se puede tener un estimado de la magnitud del esfuerzo horizontal máximo, esfuerzo horizontal mínimo y el esfuerzo vertical, respectivamente. De esta forma, se ha generado un estimado de todos los campos requeridos para el tensor de esfuerzos in situ reducido y, a partir del mismo, se pudo realizar las transformaciones matriciales para conocer el tensor de esfuerzos en un sistema de referencia diferente.Conclusiones1. Para la presente investigación se realizó el acopio de informes de mediciones de esfuerzos in situ y de los registros disponibles en la base de datos del proyecto WSM en el Perú.2. En primer lugar, se tuvo acceso a 14 informes de medición de esfuerzos in situ ejecutados por empresas especialistas y se extrajo los tensores de esfuerzos reportados, obteniendo un total de 73 registros. Esta base de datos fue sometida a un proceso de optimización y finalmente se obtuvieron 39 registros con información de la orientación de los esfuerzos principales y sus magnitudes. A esta, se le denominó base de datos de orientación y magnitud.3. En segundo lugar, se filtró espacialmente la data del proyecto WSM identificando 526 registros en el área de búsqueda de Perú. A esta información se adicionó los 12 registros que provienen de la primera base de datos, obteniendo un total de 538 registros con información de la orientación del esfuerzo horizontal máximo. Esta, fue nombrada base de datos de orientación.4. La estrategia de cálculo estuvo alineada a caracterizar y modelar la orientación del esfuerzo horizontal máximo con la base de datos de orientación y generar un mapa de esfuerzos suavizado. También caracterizar y modelar la magnitud de los esfuerzos del tensor mediante regresiones lineales en función de la profundidad.5. Con relación al mapa de esfuerzos suavizado para el Perú, se identificó que la orientación más frecuente para el esfuerzo horizontal máximo es de EW y NEE-SWW, sin embargo, existen tres zonas en las que se observa un alineamiento diferente: (a) al norte próximo a la costa de Piura se observa un alineamiento del SHmax de NNW-SSE; (b) próximo a la costa de Moquegua se evidencia un alineamiento del esfuerzo horizontal máximo de NW-SE y (c) en la zona selva en Madre de Dios y Loreto se evidencia un alineamiento del esfuerzo horizontal máximo de NE-SW y NNE- SSW.6. En relación a las regresiones lineales de la magnitud de esfuerzos vs la profundidad y la relación de esfuerzos vs la profundidad. Las regresiones que están relacionadas con las magnitudes de esfuerzos tienen una mejor correlación lineal respecto a las regresiones lineales de las relaciones de esfuerzo.7. A partir de los resultados obtenidos en el mapa de esfuerzos suavizado para Perú se pudo tener una estimación de la orientación de esfuerzo horizontal máximo, luego determinando la profundidad a la que se desee realizar el análisis y con la ayuda de las regresiones ejecutadas se puede tener un estimado de la magnitud del esfuerzo horizontal máximo, esfuerzo horizontal mínimo y el esfuerzo vertical, respectivamente.RecomendacionesEl presente trabajo constituye una primera aproximación a un modelo de esfuerzos in situ para Perú. Si bien, se ha desarrollado una tarea ardua respecto al proceso de acopio de informes de medición en 14 minas diferentes con 73 registros que, luego de los procesos de optimización, se redujo a 39 registros válidos para los análisis. Esta cantidad aún es pequeña en comparación a las investigaciones realizadas en Canadá, Australia, Sudáfrica, Alemania, entre otros. El trabajo de acopio de mediciones de esfuerzos in situ en el Perú está en una etapa primigenia. Existen mediciones de esfuerzos in situ en el rubro minero y civil (construcción de hidroeléctricas, túneles de gran envergadura) que aún no han sido incluidas, por tanto, es una tarea que debe continuar ya que el resultado final será de beneficio para todos los ingenieros.BibliografíaAmadei, B., & Stephansson, O. 1997. Rock Stress and Its Measurement. Springer Netherlands. https://doi.org/10.1007/978-94-011-5346-1Arjang, B., & Herget, G. 1997. In situ ground stresses in the Canadian hardrock mines: An update. 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