Trabajo ganador en el área Geotecnia e ingeniería geológica del XXI Congreso Peruano de Geología.

Por: José Luis Ramírez, GeoRAM SRL.

Resumen

Actualmente, existen pocos estudios que aplican métodos de simulación geoestadística para modelar las propiedades geomecánicas de los macizos rocosos, y la mayoría de estos estudios pasan por alto la anisotropía de los datos geotécnicos. Por lo tanto, el objetivo del presente estudio es desarrollar un modelo geotécnico en 3D mediante el Kriging ordinario y, con ello, establecer los parámetros geotécnicos empleados para identificar zonas geotécnicas con posible potencial de riesgo. 

Este artículo presenta una metodología de caracterización basada en la simulación geoestadística de variables geotécnicas. En tal sentido, inicialmente se revisó la data de los registros geotécnicos de los 532 taladros perforados en el tajo abierto ubicado en el distrito minero de Tintaya (Espinar, Cusco), realizando el análisis exploratorio y el análisis de distribución espacial de las variables geotécnicas (espaciamiento, FF/m, RMR, RQD y UCS), de esta información se seleccionó las variables de entrada para la elaboración del modelo de bloques. 

A partir de las estimaciones realizadas para generar el modelo geomecánico de bloques tridimensional (RMR, RQD y UCS), se logró una evaluación de la calidad y caracterización del macizo rocoso del área de estudio y se desarrolló una metodología para reducir las incertidumbres relacionadas con la alta variabilidad espacial de la sectorización geotécnica, debido a las técnicas geoestadísticas empleadas.

Introducción 

Para que se lleve a cabo una minería segura y productiva, es vital tener una comprensión detallada de las condiciones del macizo rocoso. Asimismo, para obtener información sobre la calidad de un macizo, por lo general se realizan perforaciones diamantinas, se registra geológica y geotécnicamente. Además, se analizan los datos del registro antes y durante las operaciones mineras. 

Durante este proceso, los datos a menudo se evalúan utilizando ciertas herramientas y metodologías utilizadas para caracterizar los macizos rocosos. Pero estas han evidenciado limitaciones para identificar las heterogeneidades naturales como discontinuidades, resistencia, litología, entre otros. La metodología propuesta es para reducir las incertidumbres relacionadas con la alta variabilidad espacial de la sectorización geotécnica. 

En los últimos años, el uso de técnicas probabilísticas, como la serie de Taylor y la simulación de Monte Carlo, han podido mitigar estas limitaciones^[1]. Sin embargo, el impacto de los altos niveles de heterogeneidad en el comportamiento de los macizos rocosos es aún una tarea compleja y no debidamente resuelta. 

Recientemente, varios autores han propuesto el uso de técnicas geoestadísticas que, a diferencia de las técnicas probabilísticas tradicionales, tienen en cuenta la dependencia espacial de los datos y permiten estimar con precisión los valores desconocidos de los parámetros geomecánicos, como Rock Quality Designation ( RQD), Rock Mass Rating (RMR) y Uniaxial Compressive Strength (UCS)^[2]. 

Para dar cuenta de esto, la variabilidad espacial en los datos del macizo rocoso se puede estimar y evaluar utilizando modelos de bloques geotécnicos tridimensionales. Además, con técnicas de simulación geoestadística se obtienen varios escenarios que sirven para representar las variables de interés, los cuales reproducen la estructura de correlación espacial de los datos muestrales^[3]. 

El trabajo de investigación tiene como objetivo establecer una metodología para desarrollar un modelo geotécnico en 3D mediante las técnicas geoestadísticas y con ello identificar zonas geotécnicas con posible potencial de riesgo y proyectos de voladura.

Objetivos

ν Desarrollar variogramas de las variables de RMR, RQD y UCS en diferentes direcciones para determinar la anisotropía.

ν Estimar las variables geomecánicas y asociarlas a los diferentes litotipos presentes en el tajo.

ν Validar el modelo de bloques geotécnico RMR, RQD y UCS mediante el método visual.

Marco teórico 

Generalidades del Kriging

Para estimar o predecir el valor de la variable regionalizada en un sector del campo estudiado se tiene que realizar una estimación local a partir de toda la información disponible (problema de “interpolación” espacial). Para ello, se utiliza la metodología del Kriging, bautizado así en honor a uno de los precursores de la geoestadística, Daniel Krige^[4].

A lo largo del tiempo, y evidenciado en diversos estudios, el estimador del Kriging ha demostrado un comportamiento óptimo, ya que es insesgado (el valor esperado de error es cero) y minimiza la varianza de la estimación para reducir al mínimo la falla de la varianza.

Hay diferentes variaciones del método Kriging, entre ellas están:

ν Kriging simple (SK).

ν Kriging ordinario (OK).

ν Kriging universal (UK).

En el presente estudio la técnica que ayudará a determinar los parámetros de interés geotécnico es el Kriging ordinario, por ende, a continuación se detallarán algunos conceptos y fórmulas que ayudarán a entender dicha metodología de estimación.

Kriging ordinario

Según Alfaro (2007) el krigeado consiste en encontrar la mejor estimación lineal no sesgada de un bloque o zona considerando la información disponible, es decir, las muestras interiores y exteriores al área delimitada V^[5].

El Kriging ordinario es usado cuando la media de la variable es constante, pero no conocida, y el estimador toma la siguiente forma:

Ẑ (S₀) = ∑_iⁿ = ₁λ_iZ(S_i) (1)

Donde:

Z(Si): Es el valor medido en la ubicación i.

λ_i: Es una ponderación desconocida para el valor medido en la ubicación i, conocido también como el vector de ponderación que minimiza el error de predicción.

S₀: Es la ubicación de la predicción.

N: Es la cantidad de valores medidos.

En caso se desee predecir Z(xo) y se tienen realizaciones de las variables Z (x1),..., Z(xn), y, en el punto x0 donde no hubo medición. En esta circunstancia, el método Kriging ordinario propone que el valor de la variable puede predecirse como una combinación lineal de las “n” variables aleatorias así:

Z*(X₀)=λ₁Z(x₁)+λ₂Z(x₂)+λ₃Z(x₃)+λ₄Z(x₄)+λ₅Z(x₅)+...+λ_nZ(x_n) = ∑λ_iZ(x_i) (2)

En donde los λ_i representan los pesos o ponderaciones de los valores originales. Dichos pesos se calculan en función de la distancia entre los puntos muestreados y el punto donde se va a hacer la correspondiente predicción. La suma de los pesos debe ser igual a uno para que la esperanza del predictor sea igual a la esperanza de la variable. 

∑_i^N = ₁λ_i = 1 (3)

E(Z*(x₀)) = E(Z(x₀)) (4)

Según Díaz (2022), se puede representar al sistema de ecuaciones del Kriging, en las siguientes matrices^[6]:

“Este sistema de ecuaciones tiene solución única, la matriz es no singular, lo cual se cumple cuando la matriz de covarianzas es estrictamente definida positiva. Esto se puede garantizar si se usan modelos de función de covarianzas estrictamente positivo definidos y no se incluyen puntos duplicados. Es decir, no se puede usar una muestra donde la función aleatoria tome dos valores distintos en un mismo punto”^[7].

Donde: σ_ij = σZ_i Z_j (5)

Como se visualiza, las covarianzas bajo la hipótesis intrínseca pueden ser reemplazadas por las semivarianzas, mediante la siguiente expresión:

Donde: σ_ij = σ2 - γ_ij (6)

σ2 = C (0), es la varianza total de la muestra.

Entonces sustituyendo la expresión de la covarianza en función de la semivarianza obtenemos el sistema de Kriging en función de las semivarianzas:

Y la varianza de la estimación se calcula como sigue:

σ_e² = ∑_iⁿ=₁λ_iγ_ki + μ (7)

En el caso que la variable regionalizada cumpla con la hipótesis intrínseca, la cual es una condición menos exigente que la estacionalidad, es más frecuente utilizar las ultimas expresiones descritas de formulación del Kriging^[6].

Método de solución

Análisis del variograma del RMR, RQD y UCS

En la segunda etapa se realizaron variogramas experimentales, los cuales fueron ajustados a un modelo de variograma teórico para ser utilizados en el proceso de estimación.

Estimación de los parámetros geotécnicos RMR, RQD y UCS

En la tercera etapa, para la estimación de los valores RQD, RMR y UCS se usó la técnica geoestadística del Kriging ordinario, definiendo compósitos de 15 m que son ligados a la distribución litológica y estructural correspondiente a la altura de los bancos del tajo en estudio. Cabe destacar, que el Kriging ordinario es un método de inferencia espacial, el cual permite estimar los valores de una variable en lugares no muestreados utilizando la información proporcionada por la muestra^[4]. 

El método está planteado de tal forma que brinde el mejor estimador lineal no sesgado con una varianza mínima, esta técnica se ajusta con mayor confianza que otras técnicas estadísticas, a las variables aditivas (RMR y RQD).

Validación del modelo de bloques

Finalmente, la validación del modelo de bloques se realizó de manera visual verificando que la información procesada cumpla con las distribuciones de los histogramas realizados a partir de la data de mediciones de campo.

Resultados

Aplicación del análisis de confiabilidad del RQD

A partir de la información de los registros geotécnicos de los taladros perforados en el tajo, se procesaron los datos de RQD en función del espaciamiento de los 532 taladros según los criterios de Bieniawski (1989)^[8], donde se observa que la data que está dentro de los límites aceptados tiene el 64.67% de confiabilidad del registro geomecánico del RQD (Figura 1). 

Se analizó estadísticamente el RQD vs FF/m siguiendo la metodología de Hudson y Priest (1976)^[9], donde la confiabilidad es del 43.49% (Figura 2), cabe destacar que para la elaboración del modelo de bloques se tomará solo las corridas que se encuentren dentro de los intervalos de confiabilidad. De la evaluación realizada se retiraron 20,602 datos que no cumplían con los criterios en mención.

Análisis de variabilidad del RMR, RQD y UCS

Se analizó la data de RMR, RQD y UCS con la técnica de cajas y bigotes, evaluando la variabilidad y los sesgos de acuerdo con las medidas de dispersión estadística de los datos procesados. De los diagramas de cajas realizados, se pudo observar que la mediana de los valores del RMR y RQD presentan una asimetría positiva, sesgado hacia la derecha. De acuerdo con la Tabla 1, la variable UCS presenta una mayor variabilidad de datos, esto es debido a la información limitada del número de muestras ensayadas. 

A partir de la data correspondiente del RMR, RQD y UCS, se realizaron histogramas, de los valores que están dentro de los límites de confiabilidad (Figura 5).

La Figura 5a, evidencia que el histograma de la distribución de los valores del RMR cuenta con un 70% de data confiable para la estimación. Asimismo, se aprecia que la distribución de uniformidad se ajusta a la función Gaussiana. La Figura 5b, muestra el histograma de la distribución de los valores del RQD, donde se observa que la moda se encuentra entre 0 y 10, teniendo un coeficiente de variación de 0.79, que genera una base sólida para la investigación.

La Figura 5c, muestra el histograma de la distribución de los valores del UCS, donde se observa que la moda se encuentra entre 20 y 60, teniendo un coeficiente de variación de 0.69 y distribución sesgada a la derecha, esto se presenta por la poca data disponible.

Modelo de bloques

El modelo de bloques se elaboró en el software Minesigth®. Toda la información requerida como los parámetros estadísticos, distancias al pozo de perforación diamantina, el número de las muestras utilizadas en una estimación, tipo de roca, densidades, resistencia, entre otros, que fueron almacenados en cada bloque individual para evaluar los parámetros geotécnicos que podrían utilizarse en las estimaciones. 

En tal sentido, para la estimación de los valores RQD, RMR y UCS se empleó la técnica geoestadística del Kriging ordinario, definiendo compósitos de 15 m que están ligados a la distribución litológica y estructural. Asimismo, la distribución espacial de los 532 taladros perforados en el tajo solo cubre un área estimada del 70% al 80% del tajo en estudio (Figura 6).

Prototipo de modelo de bloques de los valores de RMR, RQD y UCS

Para la dimensión de estimación del modelo de bloques se usó los límites de la huella del tajo en estudio (Figura 7).

Análisis de variogramas de RMR

Para la estimación del modelo de la variable RMR, se hizo el análisis geoestadístico en tres direcciones y se fue ajustado al modelo esférico (Figuras 8, 9 y 10).

Validación visual del modelo de bloques RMR

Se validó visualmente el modelo de RMR, verificando que la información procesada cumpla con las distribuciones de los histogramas detallados en el ítem anterior y los intervalos de confianza adecuados, se encontraron extrapolaciones no significativas (valores posibles) en el volumen del tajo final del modelo. En la Figura 11 se muestran las vistas en secciones que validan la información de no extrapolación de datos castigando las influencias de fallas principales. 

Para clasificar el macizo rocoso, en la presente evaluación, se adoptó como fuente de información los registros geotécnicos de los testigos diamantinos. Además, se realizó una modificación al criterio de Bieniawski (1989)^[8], con la finalidad de clasificar al macizo rocoso en rangos menores y tener un mejor detalle de la calidad del macizo RMR, tal como se detalla en la Tabla 2 .

Análisis de variogramas de RQD

El análisis de los variogramas experimentales del RQD, se realizaron con el software Minesight y se analizaron en las siguientes direcciones: 10°, 290° y 290°. A partir de este análisis se ajustó cada variograma al modelo esférico.

Validación visual del modelo de bloques RQD

Se validó visualmente el modelo de RQD, verificando que la información procesada cumpla con las distribuciones de los histogramas detallados y los intervalos de confianza adecuados para este nivel de estudio, no se encontraron extrapolaciones significativas en el volumen del pit final. 

Para la calidad del macizo rocoso, en la presente evaluación, se ha adoptado como fuente de información los registros geotécnicos de los testigos diamantinos. Además, se ha realizado una adaptación al índice de la calidad de la roca por Deere (1964) con la finalidad de clasificar al macizo rocoso en porcentaje y tener un mejor detalle de la calidad del macizo rocoso RQD, tal como se detalla en la Tabla 3.

Análisis de variogramas de UCS

Para la estimación del modelo de la variable UCS, se hizo el análisis geoestadístico en tres direcciones y cada variograma experimental fue ajustado a un modelo esférico.

Validación visual del modelo de bloques UCS

Se validó visualmente el modelo de UCS, verificando que la información procesada cumpla con las distribuciones de los histogramas detallados y los intervalos de confianza, no se encontró extrapolaciones significativas en el volumen del pit final. 

En las secciones del modelo de bloques de UCS evidenciadas en las Figura 19, se muestran las vistas donde se han incluido los resultados de los UCS y los resultados de los ensayos de carga puntual (PLT) corrigiendo a UCS 50, según el ISRM para tener una mayor población de interpolación de datos en el modelo. Aunque en el modelo hay una baja densidad de interpolaciones de la variable UCS; sin embargo, el modelo de bloques UCS desarrollado en el presente estudio, servirá como base la actualización del modelo.

Conclusiones

1. El estudio permitió realizar una metodología para reducir las incertidumbres relacionadas con la alta variabilidad espacial de la sectorización geotécnica, debido a las técnicas geoestadísticas empleadas.

2. Según los criterios de confiabilidad de Bieniawski (1989) y Hudson y Priest (1976), se procesó la data geotécnica de un total de 532 taladros perforados en el tajo, siendo el porcentaje mayor al 40% del total de la data procesada, considerado como confiable para el presente estudio.

3. Los análisis de confiabilidad y variabilidad a partir de técnicas geoestadísticas permitieron la estimación con buen criterio de las variables geotécnicas, tales como: RMR y RQD, dentro del volumen del pit final.

4. A medida que se incrementa la cantidad de información de las variables geomecánicas y geotécnicas, el modelo de bloques deberá ser actualizado.

5. El presente estudio permitió hacer una evaluación de la calidad y características del macizo rocoso. Además, las secciones bidimensionales pueden ser cortadas con el modelo y el pit final, para hacer una verificación de la estabilidad global de los taludes proyectados.

6. El presente estudio permitió realizar una metodología mediante la técnica geoestadística Kriging ordinario para reducir las incertidumbres relacionadas con la alta variabilidad espacial de la sectorización geotécnica usadas convencionalmente.

7. El modelo deberá ser calibrado con las observaciones de campo en la siguiente etapa del estudio a través de mapeos geotécnicos y estructurales de los bancos y comparar con los valores de RMR y RQD, sugeridos por el modelo, considerando un control de calidad.

Referencias 

¹ Ang, A., & Tang, W. 1984. «Probability Concepts in Engineering Planning and Design», Decision, Risk, and Reliability, Illustrated Edition. John Wiley & Sons Inc., Vol. 2. 

² Pinheiro, M., Emery, X., Miranda, T., Lamas, L., & Espada, M. 2018. «Modelling Geotechnical Heterogeneities Using Geostatistical Simulation and Finite Differences Analysis», Minerals, vol. 8, n°2.

³ Chilés, J.P., & Delfiner, P. 2013. «Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty», Math Geosci, vol. 45, 377–380. 

⁴ Emery, X. 2013. «Apunte de Geoestadística», Universidad de Chile, vol. 80, 1683–1700.

⁵ Alfaro, M. 2007. «Estimación de Recursos Mineros», Escuela de Minas de París.

⁶ Díaz, M. 2022. «Apuntes de Geoestadistica aplicada», Universidad Nacional Autónoma de México. 

⁷ Chuquiruna W. 2018. «Aplicación de la Geoestadística en identificación de anomalía del oro, Ayahuanca – Puno», Universidad Nacional Mayor de San Marcos. 

⁸ Bieniawski, Z.T. 1989. «Engineering Rock Mass Clasifications», John Wiley and sons, Inc. 

⁹ Priest, S. D., & Hudson, J. A. 1976. «Discontinuity spacings in rock, «International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts”, vol. 13, n°5, 135–148.

¹⁰ Matheron, G. 1965. Les variables régionalisées et leur estimation, une application de la théorie de fonctions aléatoires aux sciences de la nature. París: Masson et Cie. Editeurs.