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MODELO MATEMÁTICO DE TRANSPORTE DE MATERIALES EN MINAS A TAJO ABIERTO Y SUBTERRÁNEAS

Por: Jorge Lozano Fernández, Co-founder de Deep Pit Technology.


Introducción

La estimación de la flota de camiones necesaria para cumplir con el plan de producción es una de las tareas más importantes en la planificación de minas a tajo abierto debido a que el material que se explota debe ser transportado a los diferentes destinos al menor costo posible y con los mayores estándares de seguridad. 

La estimación de la flota deriva en costos de capital que la empresa minera debe realizar con el fin de cumplir con sus objetivos de producción, por lo que se evidencia la vital importancia de su correcto cálculo.

Las metodologías tradicionales con las que se realiza la estimación de camiones no toman en cuenta una base matemática adecuada y utilizan parámetros operativos constantes, lo que implica que los resultados no tengan el sustento necesario.

Dado lo anterior, en este documento mostraremos y desarrollaremos un modelo matemático que representará el comportamiento dinámico de un sistema de transporte obteniendo la ecuación fundamental para este tipo de actividad. Asimismo, validaremos los resultados con la construcción de dos modelos de simulación.

Objetivos

Plantear la base científica de la estimación de camiones en una mina a tajo abierto mediante el desarrollo de un modelo matemático y su respectiva demostración basada en el comportamiento real de los sistemas dinámicos.

Extender el conocimiento de la estimación de flota de camiones de la actual metodología determinística, la cual considera la fórmula tradicional de Match Factor patentada por Morgan y Peterson en 1968, a la sugerida por el autor donde se incluye la dinámica de los sistemas reales y donde la espera de las palas (servidores) modifica el comportamiento y la estimación de la flota de acarreo.

Entender a mayor profundidad el comportamiento económico de un sistema dinámico mediante la integración de un modelo matemático y de simulación, donde se demostrará que los datos obtenidos con métodos tradicionales representan una realidad esperada y son gobernados por el formulismo matemático. 

Fundamento

La capacidad de predecir con exactitud la productividad de una flota de camiones y palas es un problema importante para la minería y la construcción, y está intrínsecamente vinculada a la selección del equipo. En particular nos interesa "la predicción de los tiempos de viaje de ida y vuelta de un ciclo de camión y la predicción del efecto de la interacción entre la pala y camión en el punto de carga"1

En este contexto, se desarrollaron varias teorías que buscan interpretar en forma analítica dicho problema. Tenemos así la teoría del factor de coincidencia (match factor), la teoría de agrupamiento (bunching theory) y la teoría de colas (queue theory).

La revisión de la literatura incluye los términos definidos por Morgan y Paterson en 1968 y la ampliación de los conceptos para flotas heterogéneas planteados por Christina Naomi Burt en su disertación de tesis doctoral. 

Los estudios desarrollados con anterioridad a este documento que forma parte de mi tesis de grado consideran modelos donde los tiempos de cola originados en las palas son fijos o son incluidos dentro del tiempo total de acarreo, lo que no permite relacionar correctamente el comportamiento real del sistema con el modelo matemático y, por ende, cualquier modelo de simulación ya sea discreto o estocástico no se valida con la teoría matemática.

Modelo matemático 

Se imagina un sistema pala-camión donde se tienen las fases de minado y los destinos de descarga. Entonces, se puede considerar que existen m palas y n camiones en el sistema. Las m palas están asignadas a diferentes fases de minado y su objetivo es cumplir una cuota de producción K donde la producción P(m) siempre tiene que ser mayor o igual a K(m).

Aquí el cuestionamiento es: ¿cuántos camiones se necesitan? Se puede estimar con la fórmula de Match Factor considerando un MF de 1. Pero se obviaría la naturaleza del sistema de acarreo, es decir, su comportamiento económico. 

Si un sistema empieza a operar y no tiene camiones, tendrá un alto costo de minado debido a que no tiene producción. Pero a medida que estos ingresen al sistema, el tiempo de espera en las palas disminuye, aumentado así su productividad y reduciendo el costo de minado. Esto es lógico, pero ¿hasta qué punto? La respuesta nos la brindará un estudio del comportamiento de las colas y esperas en las palas. 

Funciones de esperas y colas

Para entender el comportamiento económico del sistema con relación a las colas y las esperas, hay que imaginar la función WSh(n), que representa la cantidad de horas de espera de las palas en función de los camiones, la que decrece en la medida que ingresen los volquetes. Por otro lado, dada la naturaleza de los servidores siempre existe cola en un sistema, lo que no siempre es malo. En principio cuando no hay camiones, no hay colas, en teoría, pero al incrementarse la cantidad de estos, existe la posibilidad de un incremento en las colas. Este aumento está gobernado por la función QSh(n). Esta posibilidad de existencia se demostrará al determinar la relación de esperas y colas.

De las dos funciones WSh(n) y QSh(n), la que tiene un impacto significativo es la espera de las palas. Sea P(n) el tonelaje minado y que representa la producción de la mina para n camiones en operación. Entonces, se define esta función como sigue:

(1)

Donde:

Hi: tiempo nominal de operación de la pala i.

tci: tiempo promedio de carguío de la pala i.

tsi: tiempo promedio de cuadrado de los camiones en la pala i.

tei: tiempo promedio de espera de la pala i.

fc: factor de carga de los camiones.

De la ecuación 1, se puede ver que el tiempo promedio de espera tei de la pala i es inversamente proporcional a la producción, lo que sustenta que un incremento en la flota de camiones disminuye las demoras e incrementa la producción. Si queremos calcular el límite de P(n) cuando n tiende a ser muy grande, el resultado es que la P(n) es acotada, es decir, tiene un máximo teórico, que es igual a

Esto se puede ver en forma gráfica en la Figura 1. Para un sistema de una sola pala y un solo destino, como se verá más adelante, es factible llegar a esta producción, pero en un sistema de m palas y múltiples destinos solo es un límite máximo dado que la interacción de múltiples variables agrega un tiempo de demora adicional que es la congestión. Como se comentó en los párrafos anteriores, la espera en la pala determina la producción en la mina.

Dado este resultado de dependencia entre P(n) y WSh(n), se determinará la función WSh(n), que vendría dada por la suma de todas las esperas de las palas. Se representa como sigue:

(2)

Lo importante de esta función es que nos brinda una relación con la producción P(n) de la mina, pero aún no se sabe su relación con las colas. Para demostrarla, se define lo siguiente:

El tiempo nominal de operación de una pala es igual al tiempo total de operación más el tiempo de espera. Entonces, según esto, se define la siguiente ecuación:

(3)

Donde #i es el número de ciclos de la pala i en el tiempo Hi. De esta ecuación, se encuentra el número de ciclos despejando la ecuación 3:

(4)

Entonces, dado que el número de ciclos #i ha ocurrido en el tiempo Hi, entonces la tasa de servicio por hora para las m palas está dada por la siguiente ecuación:

(5)

De igual forma, se estima la tasa de llegadas de los camiones a las palas. Se empieza por definir a tnj como el tiempo nominal de acarreo, es decir, el tiempo que se demora un camión j en ser cargado en una pala i: tiempo de acarrear, cargar, cuadrar, descargar y retornar vacío. Este tiempo es el que se puede estimar usando la topografía de la mina y las curvas rimpull del fabricante del camión. Por otro lado, se define a tqj como el tiempo de cola. Entonces, el tiempo de ciclo de acarreo tccj se determina de la siguiente manera:

(6)

La fórmula 6 muestra el tiempo de ciclo real debido al efecto de la cola para un camión j en una ruta en particular. Si este camión j da kj ciclos en un tiempo de operación Hj, entonces, se determinan las siguientes ecuaciones:

(7)

Generalizando la ecuación 7 para n camiones, en la operación se tiene la siguiente ecuación:

(8)

Pero, para una ruta en particular, el tiempo nominal de acarreo no cambia. Entonces, la ecuación 8 se simplifica y obtenemos la siguiente fórmula:

(9)

De la ecuación 9, el componente

que es el tiempo nominal total, puede ser expresado de esta manera:

(10)

Donde es el tiempo nominal de acarreo promedio del sistema y K es el número de ciclos de acarreo del mismo. Este tiempo promedio no incluye al tiempo de cola. Ahora, de las ecuaciones 9 y 10 se determina el número de ciclos, que se expresa de la siguiente manera:

(11)

De la ecuación 11, se conoce el número de ciclos del sistema ocurridos en

horas operativas del sistema. Entonces, se determina el número de ciclos por hora que llegan a las palas. Esto queda determinado así:

(12)

Por último, si se considera un sistema de palas y camiones homogéneos, la ecuación 5 se convierte en lo siguiente:

(13)

Con las ecuaciones 12 y 13, para un sistema de camiones y palas homogéneos, se puede decir que la tasa de llegadas de n camiones a m palas es equivalente a las ecuaciones 12 y 13. Por lo tanto, se plantea la siguiente ecuación:

(14)

Esta equivalencia lleva a replantear el MFnm del sistema. Entonces, la siguiente ecuación, que es el cociente entre la tasa de llegada de camiones y la tasa de servicio de las palas, se presenta de esta manera:

(15)

Ahora, con el resultado de la ecuación 14, la 15, que representa el MF en función del porcentaje de esperas, colas y el tiempo de acarreo promedio con cola y sin cola, queda definida de este modo:

(16)

También se sabe que se cumple la siguiente relación, dado que en toda la operación se han presentado K ciclos:

(17)

Además, se sabe que el tiempo promedio de acarreo, incluyendo las colas, multiplicado por el número de ciclos equivale a las horas totales de operación. Así, se puede convertir la ecuación 17 en la siguiente expresión:

(18)

Despejando el cociente de tiempos de acarreo promedio de la ecuación 18 se presenta:

(19)

Aplicando el resultado de la ecuación 19 a la ecuación 16, se tiene la fórmula final del Match 

Factor:

(20)

La ecuación 20, que es el Match Factor como se definió anteriormente, brinda la posibilidad de evaluar la productividad de la mina, es decir, si el MF es menor que 1 significa que el sistema tiene un déficit de camiones, y si es mayor que hay exceso de camiones. En consecuencia, el objetivo es encontrar el punto de equilibrio, cuando el MF es igual a 1.

Ahora, se despeja la espera en función de la cola de la ecuación 20, que se expresa como sigue:

(21)

De acuerdo con la ecuación 21 y la condición de equilibrio del MF, un sistema está en equilibrio cuando el MF es igual a 1. Entonces, existe en este punto un número de camiones n0 de tal manera que no hay déficit ni exceso. Dicho de otra manera, la tasa de servicio de las palas es igual a la tasa de llegadas de los camiones y estrictamente la espera es igual a cero, como se puede comprobar en la ecuación 20. Este n0 se puede calcular así:

(22)

Para un sistema de palas y camiones heterogéneos estas fórmulas no aplican directamente, pero se puede llegar a una relación similar planteando las ecuaciones respectivas. Para el caso de estudio se partirá del supuesto de sistemas de palas y camiones homogéneos. Se vio en la ecuación 20 la estrecha relación entre las colas de los camiones en las palas, la espera de estas, el número de camiones, el tiempo de servicio de aquellas y el tiempo promedio de acarreo, y cómo estos parámetros definen la productividad de un sistema. Esta productividad encuentra su máxima expresión cuando el MF es igual a 1, cuando se identifica el punto de equilibrio del sistema. Esto último equivale a encontrar el número de camiones óptimo, es decir n0.

Si se presta atención a la ecuación 20, donde se expresa el MF, se verá que depende del porcentaje de cola del sistema, del porcentaje de espera del mismo, del número de camiones y de los tiempos de servicio de pala y de acarreo. Entonces, es posible que exista más de un MF igual a 1, es decir, está dentro de las posibilidades que dos o más flotas de camiones presenten ese valor, dado que depende no solo de los camiones, sino también de las rutas de los destinos. Y no necesariamente existe una solución. Puede ser que para n0 el MF sea 1 pero también es posible para un n0' dado que depende del comportamiento de las colas y esperas.

Por esta razón, se necesita utilizar una ecuación diferente, pero que está íntimamente relacionada al MF: el costo unitario de minado, umcn.

Función costo de minado

El costo de minado MC(n) está definido por la siguiente ecuación:

(23)

Donde Chi es el costo unitario de una pala i y ChJ es el costo unitario de un camión j. Además, GA son los costos adicionales como perforación y voladura.

La ecuación 23 resume el costo de carguío, acarreo y otros que la operación asume para mover el total de producción. La componente del costo de carguío es una función constante dado que representa el costo de operar las m palas en el sistema, mientras que el costo de acarreo del sistema representa una función creciente debido al incremento de camiones.

Podemos ver gráficamente este comportamiento en la Figura 2.

Para estimar el costo unitario de minado es necesario determinar la producción, que se muestra en la siguiente ecuación:

(24)

La producción Pn tiene un máximo, que para un sistema homogéneo equivale a

Teniendo en cuenta este resultado y las ecuaciones 20 y 21, se obtiene el costo unitario de minado que se expresa en la ecuación 25.

Se sabe que el denominador de la función umcn tiene un máximo, entonces pasado este punto cualquier incremento en camiones solo produciría lo mismo en costo unitario de minado. También se sabe que bajo este máximo tendremos un incremento del costo unitario de minado. Por eso, se está ante un punto mínimo de la función umcn. Dadas estas consideraciones, se representa la función umcn de forma gráfica en la Figura 3.

En esta, se ve cómo es la función del costo unitario de minado, que se construye a partir de la ecuación 25. Cuando la cantidad de camiones tiende a cero, el costo de operación unitario es muy alto debido a las recurrentes esperas de las palas y la poca producción. A medida que los camiones ingresan al sistema, la producción se incrementa y el costo unitario de minado se reduce hasta cierto punto, dado que por más que aumente la cantidad de camiones, la producción de las palas ha llegado a su límite máximo. Es decir, que las esperas son las mínimas posibles y el incremento marginal del costo de minado es producido porque las colas de los camiones en el sistema empiezan a aumentar. Existe, entonces, una longitud de cola aceptable que origina un incremento marginal de producción y a partir de dicho punto cualquier aumento de camiones no agrega valor al sistema. Así, el problema se reduce a encontrar el punto de equilibrio de la operación (número de camiones), donde el costo unitario de minado es el mínimo.

Se ha visto que para encontrar el costo unitario mínimo de minado se debe hallar la cota máxima de producción factible, que matemáticamente es igual a

La ecuación 22 brinda la cantidad de camiones óptimo para lograr un MF igual a 1, pero expresa que depende de una espera y cola asociadas.

Entonces podemos afirmar que dado un sistema de m palas y n camiones, la producción máxima ocurre para un n0 y en este punto existe un mínimo costo unitario de minado y que es igual a:

De todo lo anterior se concluye que para un número de camiones n0 se encuentra la máxima producción y la cota mínima del costo de minado unitario. Entonces, este n0 es la cantidad de camiones óptimo que hace que el sistema trabaje a su máxima productividad; este n0 ocurre cuando el MFnm es igual a 1. Esto se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

(27)

Donde S (m,n,r(x,y,z),d) es un sistema de acarreo de m palas, n camiones, r rutas de acarreo y d destinos.

Función objetivo

En la sección anterior se presentó las relaciones entre la cola y espera de un sistema y cómo determinar los camiones encontrando el mínimo de la función costo unitario de minado o buscando el Match Factor igual a 1. Esto daría la máxima producción posible, pero no necesariamente es lo que un plan de largo plazo requiere.

Sea Kw la producción requerida para el periodo w, donde wT[1,x] x N. Entonces, para cumplir con la producción planeada se debe cumplir la relación siguiente:

(28)

La ecuación 28 es la condición fundamental para calcular el verdadero número de camiones n0w requeridos en un periodo dado w.

Balance de fases de producción

Ahora se sabe que existe una condición global que se debe lograr y que es la que maximizará el valor presente neto (VPN) de la empresa minera, pero adicionalmente existe una restricción de la producción por fase de minado. Esto quiere decir que, periodo a periodo, cada fase debe cumplir con una cuota de producción, y que no necesariamente es la máxima. En ciertas etapas se requiere mayor producción que en otras; por lo tanto, la producción para ciertas palas del sistema de acarreo no siempre será la máxima.

Entonces, adicionalmente a la condición fundamental, es necesario cumplir objetivos por pala. Así, se tiene:

(29)

La ecuación 29 muestra que para cada pala en cada periodo se debe cumplir con un objetivo prestablecido. Ahora, se puede plantear la ecuación general del cálculo de camiones, que es como sigue:

No se puede resolver este sistema de ecuaciones con métodos determinísticos dado que la naturaleza de las colas y las esperas son resultado del comportamiento probabilístico de un sistema de acarreo y de un proceso de simulación. Para poder aplicar, entonces, toda la teoría desarrollada se debe construir un sistema de simulación y sobre sus resultados aplicar los conceptos estudiados y determinar la flota óptima, todo sustentado en las matemáticas desarrolladas en este documento.

Modelo de simulación

En este punto se mostrará la aplicación de la teoría desarrollada para estimar el punto óptimo de un sistema productivo y los camiones necesarios para cumplir un plan de producción. También se verá el comportamiento de un sistema de una sola pala y un solo destino de descarga, y un sistema complejo de múltiples palas y múltiples destinos.

Caso 1: Sistema de una pala y un solo destino de descarga

Comprende un caso básico de un sistema productivo, donde existe una sola pala y un solo destino de descarga. 

Elementos del sistema

Cuenta con una pala y un destino. El tiempo promedio de carguío es de 1.5 minutos y el tiempo de cuadrado del volquete es de 0.5 minutos. El material cargado es enviado a la chancadora, donde el tiempo de cuadrado es de 1 minuto y el tiempo de descarga es de 1.2 minutos. El tiempo de acarreo de un camión vacío es de 4.3 minutos y de uno cargado es de 11 minutos. 

Entonces, el cuestionamiento surge: ¿cuántos camiones necesitamos para cumplir con la máxima producción del sistema? ¿Existe cola en el sistema?

Para responder a estas preguntas y a otras, como el porcentaje de espera de la pala y la chancadora, se construirá un sistema de simulación en GPSS. 

Resultados de la simulación

En la Tabla 1 mostramos los resultados de la simulación. Como se puede ver es posible estimar la cantidad de material minado, el número de ciclos, el tiempo de cola de los camiones y espera de las palas y la chancadora. Como se observa también hemos calculado el Match Factor y con ello hemos demostrado le ecuación 20 usando la simulación con GPSS.

Cuando se construye el sistema y se simula para diferentes escenarios de camiones, se pueden encontrar los resultados que se presentan en las Figuras 4 y 5.

La Figura 4 muestra cómo a medida que se incrementa el número de camiones al sistema, el porcentaje de espera de la pala disminuye. Asimismo, un incremento de número de camiones significa un aumento de tiempo en cola. En la Figura 5 se visualiza cómo el mínimo costo unitario de minado ocurre en el máximo de la producción posible, como se mostró en el fundamento teórico. También se puede estimar que seis es la cantidad óptima de camiones que este sistema necesita, a un costo mínimo operativo de 0.68 dólares por tonelada.

El sistema que se acaba de desarrollar es básico, pero permite comprobar los fundamentos teóricos y profundizar en uno más realista: de múltiples palas y varios destinos analizados a continuación.

Caso 2: Sistema de múltiples palas y destinos

En el mundo real las operaciones mineras realizan sus actividades en múltiples zonas o fases, y el material extraído es clasificado por leyes de corte y tipos de desmonte, con lo que se tienen múltiples destinos tales como stock piles, chancadoras, botaderos, etc.

De la misma manera que el caso anterior, la pregunta es que, dado un escenario de producción, ¿cuántos camiones son necesarios? En este caso existen dos maneras en simulación de estimar la cantidad de camiones. La primera es analizar cada pala y, en función del tipo de material que tiene, determinar la cantidad de camiones que son necesarios usando el algoritmo del caso 1. Luego de analizar todas las palas, sumar la cantidad de camiones de cada una y se obtiene la cantidad de camiones que el plan de minado necesita para cumplir con la producción requerida. Esta metodología es muy parecida a lo que la industria realiza actualmente, pero usando métodos discretos y Excel para estimar la cantidad de camiones, un cálculo en donde no se toma en cuenta el comportamiento de las colas y esperas del sistema. 

Otra manera es la estimación de camiones donde interactúan todos estos, las palas y los destinos, es decir, un análisis dinámico. Para ello es conveniente revisar la sección donde se explica la metodología y el algoritmo de asignación dinámico a usar. 

Para demostrar este sistema se ha construido un programa en GPSS.

Elementos del sistema

Este sistema cuenta con tres fases de minado. En cada una tenemos una pala. Para este caso contamos con una chancadora y un stock cerca de la chancadora para enviar mineral a esta cuando esté saturada o falle. Para el desmonte consideramos tres botaderos. Ver Figura 6.

Algo importante en este sistema es que se ha creado zonas de mineral y desmonte en el minado de las palas, por lo que la alimentación de mineral a la chancadora dependerá del avance de la pala. Es un sistema complejo con fases de mineral y desmonte, no en proporción, sino que su minado está en función del tiempo dado que tiene una ubicación geométrica. Esto es para hacer que el sistema sea más realista desde el punto de vista de la ubicación de los tipos de material. Lo tradicional del sistema simulado es que se considere que todos los materiales se minen en forma proporcional a su cantidad, pero ignorando su ubicación.

Como se explicó líneas arriba, hay algoritmos de asignación dinámica ubicados en las intersecciones y salidas de botadero y chancadora con el objetivo de asignar dinámicamente a los camiones y así maximizar la producción de la mina.

Este sistema tiene tres palas Komatsu 1200E con una productividad promedio real de 2,200 toneladas por hora. Los camiones para este sistema son los Cat 785C de 148 toneladas de capacidad. Los tiempos de acarreo promedio han sido calculados en base a las velocidades obtenidas de campo y velocidades máximas desarrolladas que se muestran en la Tabla 2.

Como resultado de aplicar estas velocidades a las rutas de acarreo obtenemos los tiempos de acarreo nominales. Adicionalmente, los tiempos fijos del sistema pala-camión se muestran en la Tabla 3.

Resultados de la simulación

En este caso se puede estimar la cantidad de camiones óptima del sistema de producción de tres palas y cinco destinos (tres botaderos, un stock y una chancadora), con 36 camiones. Este resultado es el óptimo que asegura que el sistema obtenga la máxima producción total, pero no es necesariamente lo que el plan minero está requiriendo. Esto se debe a que el plan está sujeto a maximizar el NPV del negocio minero, por lo cual cada fase no siempre se desarrolla como exige la optimización del Match Factor. Para esto, en el programa se tienen que asignar prioridades de minado de las fases para cumplir con el requerimiento del plan minero, que se puede implementar al cambiar la productividad de las palas en el programa GPSS. 

Esta manipulación origina que la producción esperada de la simulación diste del óptimo si se libera el optimizador, por ello es que cuando se simule se debe buscar cumplir con la producción de las fases. La estimación de camiones y los parámetros como porcentaje de espera de las palas, porcentaje de cola de camiones y productividad de palas, puede ser diferente del óptimo del sistema productivo.

En general, un plan minero debería ser desarrollado con el objetivo de usar al máximo la productividad de las palas, pero en algunos casos los equipos cumplen funciones complementarias en el desarrollo de las fases de minado –como los cargadores frontales que en ocasiones se usan parcialmente para el arranque de bancos, perfilado de taludes y limpieza de crestas–. En estos casos, el equipo de carguío es subutilizado y tiene un alto porcentaje de espera.

Los resultados de este ejemplo demuestran que es posible estimar no solo la cantidad de camiones que un plan minero necesita sino también muchos parámetros de control como el costo de minado del sistema productivo. Para este ejemplo, como se visualiza en la Figura 7, el costo unitario de minado permanece constante o casi constante desde los 13 hasta los 36 camiones, y se incrementa ligeramente al pasar del óptimo. De la experiencia de simular múltiples escenarios, se ve que es un caso particular dado que con otra configuración de desmonte y mineral el costo unitario de minado puede variar significativamente.

En las Figuras 8 y 9 se puede ver el comportamiento de la productividad de la mina y la chancadora con diferentes escenarios de camiones. También se puede advertir la evolución de la productividad de las palas y las colas en cada pala, tal como se muestra en las Figura de la 10, a la 15. 

En conclusión, se puede tener un espectro del sistema productivo tanto desde el punto de vista económico como el de producción y tomar decisiones con respecto a la cantidad de camiones, número de cola en las palas, esperas, productividad y costo de minado.

En todos los escenarios de simulación siempre se estima la cantidad de camiones requerida, pero usualmente se olvida el porcentaje de cola asociado. Como se demostró en el tercer punto, la ecuación 22 muestra la relación entre la cantidad de camiones óptima y el porcentaje de cola. Dicha función es la que se muestra a continuación, donde se cumple que la cantidad de camiones óptima n0 es igual a

Este resultado muestra que se puede llegar al óptimo pero sujeto a un nivel de cola asociado. 

Volviendo al ejemplo de la simulación se puede ver en la Figura 8 que, para 36 camiones, que es el óptimo, la pala 1 está soportando en ocasiones un máximo de 10 camiones en cola. Las preguntas que surge en este punto son: ¿Será factible operar con 36 camiones? ¿Qué riegos asociados a esta cantidad de camiones se esconden “tras bambalinas”? ¿Existirá una capacidad máxima asociada a nuestro sistema productivo que acote esta cantidad de camiones?

Estos cuestionamientos no son tema de este documento, pero se darán las pautas para futuras investigaciones, que se han desarrollado, pero que no serán expuestas para no salir de la línea de investigación de este documento. Con todo lo estudiado hasta ahora, se tiene cubierto todos los objetivos planteados que responden a la necesidad de estimar la óptima cantidad de camiones que necesita un sistema productivo para cumplir con sus objetivos.

Conclusiones y recomendaciones

Podemos concluir lo siguiente:

1. La simulación unida a la optimización de procesos es una herramienta poderosa para conocer el comportamiento económico y productivo de un sistema minero. Como consecuencia, se puede determinar la flota óptima que máxima la producción.

2. Hemos demostrado que el Match Factor se rige por la ecuación siguiente:

Esta extensión es un aporte del autor al conocimiento de la estimación de equipos para una mina cuya relación a la fecha no incluía colas de camiones ni esperas de palas. Muestra que en un sistema productivo existe una relación entre las colas y las esperas y que el Match Factor en un sistema real jamás será mayor que la unidad dado que la cola absorberá dichos camiones extras incrementándose el ciclo de acarreo. 

En ese punto el sistema ha colapsado y, dado que las palas limitan el sistema en términos de producción, el Match Factor máximo será igual a 1. Esta ecuación considera que el número de palas es constante y ha sido estimado antes, dado que ya existe un plan de producción.

3. También se demostró que la cantidad óptima de camiones está dada por la siguiente ecuación:

Y qué ocurre cuando el costo unitario de minado es el mínimo y es igual a:

Bajo esta premisa es que se desarrolló la metodología de estimación de camiones y se unificó el espectro económico y producción de un sistema minero, cuyos resultados simulados corresponden a la matemática desarrollada, como se mostró en el punto anterior. La formulación matemática del sistema está dada por la siguiente expresión:

Donde S (m,n,r(x,y,z),d) es un sistema de acarreo de m palas, n camiones, r rutas de acarreo y d destinos.

4. De la ecuación del número óptimo de camiones se desprendió que existe una conexión entre la cantidad de camiones requerida y el porcentaje de cola asociado. Este nos brinda el nivel de factibilidad con que el plan de producción será ejecutado. Aquí es donde nace un nuevo estudio: el análisis de congestión de la mina. Es imprescindible, dada la cantidad de camiones que una operación minera requiere, determinar el nivel de congestión de la operación y la capacidad de diseño de las intersecciones y rampas que constituyen el sistema de acarreo. 

Agradecimientos

Un especial agradecimiento a mis padres Jorge Lozano y Flor Fernández por su amor y apoyo incondicional y a mi señora esposa Melissa Amado por ser mi fuerza y soporte en cada momento.

A mi alma máter la Universidad Nacional de Ingeniería y en especial al Dr. Marín por ser fuente de inspiración en mi vida profesional.

A los ingenieros Christian Osorio, Henry Brañes, Akira Takahashi, Fernando Valdez y Marco Maulen por siempre aconsejarme y ayudarme en el desarrollo de este proyecto.

Bibliografía 

Burt, C. 2008. An optimization approach to materials handling in surface mines. Curtins University Repositorio, v. 1 p. 46-81.

Kennedy Bruce A. 1990. Surface Mining (2 ed.). Littleton, Society for Mining, Metallurgy and Exploration, 1194p. 

Apuntes del curso “Análisis de sistema mineros” dictado en la Universidad Nacional de Ingeniería.

Manual de simulación con GPSS de la Universidad de Fasta Mar del Plata Argentina.

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